lunes, mayo 21, 2018

La multiplicación y la división.


Hay que tener en cuenta que en las matemáticas manipulativas multiplicación y división van de la mano como dos operaciones opuestas.
En el proceso de construcción de la multiplicación, es importante tener en cuenta los siguientes puntos.

Descubrir que un mismo número se puede representar como suma de sumandos iguales

Simbolización con las regletas
Juegos y actividades manipulativas
Juegos en Vedoque.com
Coge un número X y dime si lo puedes hacer con regletas de un mismo color, ¿Cuántas has necesitado?
Ejemplo:
El número 8 se puede hacer con dos regletas de 4 porque 4 repetido dos veces es 8.
También con cuatro regletas de dos porque 2 repetido cuatro veces es 8.
También podemos decir que 8 en trozos de 2, necesitas 4
8: 2= 4
De la misma manera 8 en trozos de 4 es 2
Los muros de colores
Esta es una actividad que repetimos a diario, porque permite al alumnado ir descubriendo y construyendo nuevos conceptos matemáticos, siempre que el maestro sea capaz de guiarlo hacia aprendizajes nuevos.
Tenemos varios juegos en Vedoque que nos ayudarán a aprender las tablas de multiplicar.
Al principio es conveniente que juguemos con todos a la vez utilizando las regletas para resolver los juegos para ello debemos utilizar un juego en el que el tiempo no sea importante porque aún no se saben las tablas, están construyendo el concepto.  Dos de nuestros juegos son adecuados para este nivel
Otro ejemplo lo podéis ver aquí.


La propiedad conmutativa de la multiplicación

Fundamental favorecer desde el principio el pensamiento reversible. La representación con regletas de cada uno de los números y de las composiciones y descomposiciones que se pueden hacer con ellos facilita mucho la comprensión de la propiedad conmutativa  de la operación como un camino que se puede seguir en dos direcciones, lo que no pasa con la resta ni con la división.

Construir las tablas de multiplicar de los 11 primeros números.

Simbolización con las regletas
Juegos y actividades manipulativas
Juegos en Vedoque.com
Desde esta perspectiva nada se da hecho, todo se construye.
Se trata de que entiendan la multiplicación como números iguales que se repiten, y al repetirse obtenemos otras cantidades.
Es fundamental que empecemos a construir cada una de las tablas y lo hagamos como un juego hasta que tengan claro qué significa multiplicar. Una vez hayamos construido todas las tablas deberemos pasar a la fase de “automatización o entrenamiento”.
 Eje: para construir la tabla del dos diríamos el repetido 1 vez me da 2
El dos repetido dos veces me da cuatro.
Iríamos repitiendo los números tantas veces como nos indique el factor y midiendo el resultado con las regletas.

Esta actividad podemos verla mejor en un vídeo.
 Vamos a construir un tren con vagones iguales. ¿Cuánto nos cuesta cada tren?
Todo lo que le pedimos a la caja, tiene un precio, y este normalmente son los coches que han usado para hacer algo.
Esta actividad, en los inicios de la multiplicación, también debe ser un hábito.
La consigna que le daríamos sería:
Llegados aquí ya tienen más que numeradas las regletas, por lo que podemos llamarlas directamente por sus números correspondiente. Si queremos construir un tren con un vagón rojo, me costaría…
Construcciones libres con un solo color de las que tienen que calcular su valor con una multiplicación.
Construir castillos de múltiplos de un número. Entender el concepto de múltiplo y divisor es algo que en la enseñanza de las matemáticas se ha dejado para los últimos cursos de la enseñanza Primaria, sin embargo, si lo planteamos como un juego lo entienden de manera natural.


Para que los niños sientan la necesidad de sumar o juntar cantidades, debemos proponerle situaciones en las que sea necesario hacerlo. Normalmente siempre inventamos situaciones problema que se resuelvan con una suma, pero además es importante partir de juegos. Cualquiera de los de Vedoque nos sirven  para ello, siempre que tengamos en cuenta la necesidad de graduar la dificultad.
Además de los anteriores, podemos usar


Trucos relacionados con la multiplicación

  • ·        Multiplicar por 5 es como multiplicar por 10 y hacer la mitad
  • ·       Para multiplicar por 11 un número de dos cifras, multiplicamos por diez y sumamos el número al resultado.
  • ·    Si multiplicamos por nueve el proceso es el contrario, multiplicamos por diez y restamos el número.


lunes, mayo 14, 2018

La resta, de la fase manipulativa a la fase simbólica

En una de las entradas del curso, os hablaba del "ábaco improvisado", un ábaco en el que los materiales dan la idea de cómo funciona nuestro sistema de numeración
Para empezar con la resta, vamos a ver cómo uno de mis alumnos explica cómo se hace la resta utilizando el ábaco.


Este es otro ejemplo de resta "con llevadas" y el "ábaco" improvisado.


En este caso, se puede decir que he empezado la casa por el tejado. Mientras estemos en la fase manipulativa no hay problema, el razonamiento lógico que tienen que hacer en esta fase, siempre está apoyado por los materiales, por lo tanto, pueden hacerlo. Sin embargo, si queremos que nuestros alumnos avancen en el lenguaje matemático, lógicamente sí que habrá que plantear una graduación, secuenciación que les ayude en la construcción y en el proceso de simbolización.

La resta, quitar una cantidad indicada a otra

Restar es literalmente quitar y así hemos de hacérselo ver a nuestros alumnos en las actividades de manipulación.  Pero una vez que entienden el concepto, es importante plantear la resta como una suma, ya que tendremos gran parte del camino andado, pues se saben muy bien las tablas de suma.
Para empezar, usaremos este vídeo resumen


Restas como acto de quitar de los 10 primeros números

Visto así, parece un juego, y  la verdad es que es así como debemos plantearlo, veamos el proceso con una serie de vídeos. 



Construir las tablas de restar de los 10 primeros números

Simbolización con las regletas
 Juegos y actividades ejemplo
Juegos de Vedoque
El proceso de construcción es el mismo que el de la suma. Empezamos por restar a 10 y seguimos en descendente. Siempre relacionamos la resta con la suma como operación contraria.
Ejemplo
10- 2= 8  pues  8+2 =10
9-2= 7 pues  7+2= 9
El proceso de construcción es el mismo que el de la suma. Empezamos por restar a 10 y seguimos en descendente. Siempre relacionamos la resta con la suma como operación contraria.
Ejemplo
10- 2= 8  pues  8+2 =10
9-2= 7 pues  7+2= 9

Restas con números mayores de 10

El proceso es el mismo con números mayores de 10, lo que puede variar de unos niños a otros es la simbolización que hagan, es decir, la representación simbólica. Cuando estamos en estos niveles, lo fundamental es que hagan restas partiendo del material. La construcción simbólica es posterior, no obstante veremos aquí algunos ejemplos, OAOA ofrece múltiples formas de representarlo, en mi clase, si preguntas a mis alumnos, cada uno ha desarrollado distintas estrategias, en cuanto a la representación, prefiero siempre el algoritmo horizontal, pues el vertical lo hacen por cifras y se olvidan de que están restando cantidades.

Por otra parte, una vez que hemos entendido la resta como concepto de quitar, trabajamos la resta con la consigna "CUÁNTAS ME FALTAN PARA" y así planteamos la resta como una suma, operación que ellos manejan mejor. Este vídeo es de unas alumnas de Infantil



Restas en función del valor posicional de la cifra

Son restas del tipo de los dos ejemplos del principio de la entrada. En la fase simbólica, se haría de la siguiente manera.

Simbolización con las regletas
 Juegos y actividades ejemplo
Juegos de Vedoque
Para simbolizar estos números utilizamos otro material “Base Diez”, se trata de un material en el que la centena es un cuadrado de 10x 10 y la unidad de millar un cubo de 10x10x10
Representamos el minuendo y le vamos restando el sustraendo.

En este ejemplo sería 1121-1050
En las unidades de mil quitaríamos una, a la centena le restamos 50 ya que no se lo podemos restar a 20 y nos quedarían 50 que con los 20 de antes son setenta, por tanto nos quedarían 71.





Trucos de cálculo para la resta

En ocasiones centramos tanto la atención del niño en la repetición de un algoritmo que se nos olvida hacerles pensar, ayudarles a desarrollar estrategias de cálculo rápido. Por ejemplo para restar un número cercano a la centena restamos 100 y le sumo el que le faltaba para llegar a 100, igual con 1000...


domingo, mayo 13, 2018

Sumas II. Sumas OAOA

Ya iniciamos la suma en una entrada anterior, en esta entrada, haremos un resumen sobre los conceptos básicos a construir en torno a la suma.

COMPLEMENTARIOS ARTITMÉTICOS

El complementario de un número es el que le falta para tener 10 si es de una cifra, 100 si es de dos cifras, 1000 si es de tres...
Como todos los conceptos que trabajamos en la enseñanza de las matemáticas, este necesita de muchos juegos y situaciones cotidianas que les ayuden a entenderlo y así lo podrán aplicar después, no sólo en la suma, también en la resta.

Juegos con las regletas

Junta tres y busca el chivato. 

Este juego lo hacemos partiendo de una de nuestras rutinas diarias, "El muro de colores". Lógicamente, como necesitamos combinaciones de 10, tendrán que ser números mayores de 10, para poder juntar tres. 
La consigna que le damos es, que deben juntar tres pero los "coches", es decir, la cifra de las unidades no la tocamos. Con esto los obligamos a hacer descomposiciones de 10 desarrollando así estrategias de suma .

Busca el chivato

Una versión más complicada, que utilizamos cuando queremos sumar números de más cifras, el objetivo es el mismo, desarrollar estrategias de suma buscando el 10. Esto siempre lo hacemos con apoyo del material y únicamente cuando el alumno se siente seguro deja de usarlo, no nos preocupa que utilice el material, pues como ya he dicho en alguna otra entrada, se trata de un proceso complejo de construcción de conceptos, este proceso de construcción no siempre evoluciona a la vez que la simbolización, cuando un alumno se siente seguro, deja de usar el material y lo volverá a usar para aquello que no comprende, o que necesita pensar.
Vídeo ejemplo de utilización de esta estrategia en la suma,  en la fase de simbolización utiliza una estrategia de OAOA, "Explota el número". Primero de Primaria.




Buscando el 10. Gamificación de contenidos

Siempre he defendido que la principal fuente de aprendizaje es el juego. El juego, crea la necesidad de aprender, desarrolla estrategias de comprensión y superación de pruebas, implica respeto de normas y adaptación. 
El proceso de construcción de complementarios aritméticos no es algo que se trabaje un día en clase y se sepa al día siguiente, es largo, y a veces pasa a formar parte de las estrategias de razonamiento del alumnado sin que nos demos cuenta, pero para ello es necesario, ofrecer a nuestro alumnado experiencias ricas en oportunidades de aprendizaje. En www.vedoque.com sabemos que esto es así, por lo que elaboramos juegos que parten de los planteamientos metodológicos que voy exponiendo, para el concepto que nos ocupa tenemos varios juegos: 
Es un juego en el que tienen que encender bombillas, se les pide un número que enciendan un número determinado de bombillas, y haciendo clic sobre cada una se van encendiendo. Hasta ahí, solo sería una actividad de conteo, y de correspondencia uno a uno, pero como todos los juegos, estos crecen en el aula.
Las bombillas van agrupadas en grupos de 10, en dos filas de 5, por lo tanto antes de encenderlas les preguntamos, cuántas hay encendidas, cuántas te faltan por encender (es decir para tener 10).
El juego tiene hasta cuatro niveles de dificultad, y posteriormente, dado el éxito que tuvo el juego, también elaboramos Cuenta bombillas 2 un juego en el que las agrupaciones son de 20 y en el que se encienden bombillas contrareloj, incluimos en este segundo el tiempo por muchos motivos: hacerles sentir el paso del tiempo (se mide en segundos), anotamos el tiempo que van tardando y 
después hacemos gráficas, al tener que responder en poco tiempo tienen que desarrollar estrategias de cálculo rápido...
En este juego, cada alumno, en compañía de nuestros Vedoques, tendrán que superar una serie de pruebas en las que es imprescindible sumar 10.




Tendrán que ser rápidos para hacer combinaciones de 10 con números si quieren pasar de fase.


El redondeo como estrategia en la suma

En el desarrollo de estrategias de cálculo mental, redondear a la decena siguiente o a la centena es importante, pero para ello deben conocer muy bien cómo funciona el sistema de numeración, de no ser así, será más un incordio que una estrategia de cáculo. En otra entrada, hablamos de cómo jugábamos a construir las familias de los números, sólo es sencillo que un alumno piense que 87 está muy cerca de 90 si ha jugado mucho a construir la familia de los números, tanto que sabe cómo funciona.
Además hemos preparado un juego La Serie Numérica para poder trabajar en el aula este concepto.

Descomponer un número en forma de sumandos de todas formas posibles

Creo que esta imagen lo dice todo, es la  representación simbólica después de una actividad de descomposición con las regletas.
Otro ejemplo de descomposición lo podéis ver en este vídeo.



Construir las tablas de sumar de los 10 primeros números.

Desde esta perspectiva, nada se da por hecho, todo se construye, a veces le damos alguna estrategia o ayuda para que empiecen a construirlo como es el caso de este vídeo, en el que la ñiña está construyendo la tabla de sumar del 6 y la tabla de sumar extendida.


 Os dejo también un ejemplo de fichas para simbolizar lo aprendido.
Ficha tablas de suma

Complementarios de 100

Simbolización con las regletas
Juegos y actividades manipula.
Juegos en Vedoque.com
.
Con la centena del material de base 10, hacemos muchos juegos de este tipo, primero con decenas completas y luego con decenas y unidades. Se trata de que se vayan haciendo una imagen mental del cien, de manera que calcular una suma o una resta con estas cantidades sea casi automático
Primero haríamos los complementarios con decenas completas y una vez dominado, con decenas y unidades.
La consigna sería : si tenemos 2 camiones, ¿Cuántos nos faltan para llenar el almacén?
























Simbolización con las regletas
Juegos y actividades manipula.
Juegos en Vedoque.com
Llegados a este punto es sencillo cualquier planteamiento que les pidamos, ya que partimos siempre de la cantidad, de algo que pueden montar y desmontar a como ellos quieran.
Con las regletas le pediremos de cuántas formas distintas podemos hacer un número cualquiera. Volvemos aquí a la actividad estrella Los  muros de colores
La consigna que le damos es:
Escribe un número con las regletas, en el vídeo de ejemplo es el 22, ahora di de cuántas maneras podemos hacerlo.
En este enlace podéis ver la aplicación en el aula de este juego, con vídeos de los niños. Click aquí.

Simbolización con las regletas
Juegos y actividades manipula.
Juegos en Vedoque.com
Si entendemos los números como una serie de “contenedores” y los vemos representados con un material que nos lo facilita, no tiene sentido que aprendamos primero los números más pequeños y luego los más grandes, como entienden su funcionamiento tienen que ser capaces de representar cualquier número.
Plantearemos situaciones de juego en la que los alumnos tengan que pensar en cómo es el número, qué cantidades los componen…..
En este enlace está la actividad entera explicada en una entrada del Blog


Los muros de colores. Actividad estrella de la matemática manipulativa.

"Los muros de colores" es el nombre que le damos en mi clase a una de las actividades estrella en la construcción de conceptos matemáticos.
Se trata de una rutina diaria, que se puede usar en todos los cursos, depende del enfoque que el maestro le de, ya que en función de lo que se le pida al alumno, podrán deducir bases para la construcción de un concepto u otro.
Trataré de hacer aquí una especie de resumen que sirva de guía en el planteamiento de esta actividad y como siempre, lo acompañaré de vídeos ejemplo de los alumnos.

Los inicios

Construcción de conceptos básicos.

Descomposiciones básicas: el anterior más uno, doble mitad, números pares e impares, sumas de los diez primeros números...
Cada día construiremos el muro de colores de un número, en mi clase la fecha del día nos sirve para empezar. En la siguiente foto se puede ver las descomposiciones básicas de los cinco primeros números.

Descomposiciones de los números

Imaginaos la cantidad de asociaciones de números que se pueden hacer cada día, en función de las necesidades de aprendizaje que nos planteemos y de los alumnos que tengamos. 
En este ejemplo, os dejo un vídeo del muro de colores del 17. Este día, pudimos ver que es un número impar, pues no se puede hacer con dos regletas del mismo color, que es primo, pues no hay regleta de ningún color que pueda partirlo en trocitos iguales, que 9+8 = 17, propiedad conmutativa de la suma... Os dejo el vídeo, es mucho más ilustrador que mis palabras. 


Múltiplos y divisores

 En este otro vídeo, el del día 22, aparecen otros conceptos como:
  • Múltiplos y divisores de un número.
  • Cuántas veces está contenido un número dentro de otro...
  • Conceptos de divisibilidad...


Operaciones combinadas

  • Jerarquía en una sucesión de operaciones.
  • Buscar el factor común en una sucesión de operaciones.
  • Multiplicación como suma de sumandos iguales...


Como se puede observar, las posibilidades son muchas, depende del maestro, las pautas que le de a la hora de construir el muro variarán los conceptos que pueden construir. En ocasiones, son los niños los que te sorprenden deduciendo algún concepto en el que tú no habías pensado, posiblemente porque no consideras que es algo que puedan entender a esta edad, eso es lo que tiene este tipo de enseñanza, que los alumnos te sorprenden día a día. Un ejemplo de ello está en el siguiente vídeo, es de unos alumnos de primero de primaria, del mes de enero, y trabajamos conceptos relacionados con la multiplicación, era día 30 y pudieron ver, que 30 puede ser 4 x 7 +2

Como decía al principio, y con esto termino la entrada, son la actividad estrella en la matemática manipulativa, ya que desde esta perspectiva el alumno debe tener la oportunidad de pensar, de montar y desmontar los números de sacar conclusiones, de equivocarse, de aprender de los errores, de aprender de los errores de los compañeros, o de las explicaciones que den a estos compañeros. Además le permite evolucionar en el largo proceso de la representación simbólica.